Computational methods in topology and dynamical systems

Abstract

El objetivo de esta tesis doctoral consiste en desarrollar métodos computacionales en cuestiones de topología y sistemas dinámicos. Para ello, se utilizan espacios topológicos finitos o más generalmente espacios de Alexandroff. Estos espacios a pesar de su aparente sencillez han servido para abordar problemas matemáticos de distinta naturaleza. Por ejemplo, mediante ellos se puede enfocar la conjetura de Quillen o la conjetura de Andrews-Curtis. No obstante, hay un gran interés reciente en desarrollar técnicas computacionales usando espacios finitos para el estudio de sistemas dinámicos. Este interés está motivado por los buenos resultados que se han obtenido en cuestiones computacionales de topología donde conceptos clásicos como la teoría de Morse han sido adaptado a un contexto combinatorio.La tesis se divide en cuatro capítulos. El primer capítulo no contiene resultados originales, pero sirve como introducción a la teoría de la forma y a la teoría de espacios de Alexandroff. Este capítulo reúne los resultados principales necesarios. Posteriormente, en el capítulo 2, se obtienen resultados de carácter computacional en temas clásicos de topología como son la reconstrucción de espacios y la teoría de la forma. Concretamente, el resultado principal es el siguiente. Dado un compacto métrico X, se construye una sucesión inversa de espacios finitos que contiene en su límite inverso a una copia homeomorfa de X que a su vez es un retracto de deformación fuerte. A partir de aquí, otras relaciones con construcciones similares que reconstruyen el tipo de homotopía son estudiadas. Variando ligeramente la construcción propuesta se desarrollan técnicas para el estudio de invariantes algebraicos de compactos métricos tales como los grupos de homología. Esta variante no recupera el tipo de homotopía, pero desde un punto de vista computacional es más versátil y eficiente. Finalmente, una nueva descripción de la teoría de la forma es dada en términos de las sucesiones inversas de espacios finitos asociadas a compactos métricos. En el capítulo 3, se abordan problemas de realización de grupos mediante espacios topológicos. El problema más importante que es resuelto en este capítulo es el siguiente. Dado un homomorfismo de grupos f que va desde G hasta H, se construye un espacio topológico X tal que su grupo de homeomorfismos Aut(X) es isomorfo a G, su grupo de clases de homotopía de auto-equivalencias homotópicas E(X) es isomorfo a H, y el homomorfismo natural de Aut(X) a E(X) que manda cada homeomorfismo a su clase de homotopía realiza a f. Adicionalmente, otros problemas de realización de grupos involucrando grupos de homología y homotopía junto con los ya mencionados previamente son resueltos.Finalmente, en el capítulo 4 se obtiene un procedimiento para aproximar sistemas dinámicos discretos definidos sobre poliedros. Para ello se obtienen una nueva clase de aplicaciones multivaluadas, las llamadas Vietoris-like, que generalizan a las aplicaciones continuas usuales entre espacios finitos. Se demuestran teoremas de punto fijo y coincidencia para estas aplicaciones. En concreto, se obtiene un teorema de punto fijo de Lefschetz. Por último, se construye una categoría que recoge a estas aplicaciones multivaluadas.